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By Behrends

ISBN-10: 383480102X

ISBN-13: 9783834801029

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VOLLSTANDIGKEIT: FOLGERUNGEN 39 • (xn ) ist eine Cauchy-Folge, es gibt also wegen der vorausgesetzten Vollst¨andigkeit ein x0 mit xn → x0 . • Dieses x0 ist ein Fixpunkt von f . Damit w¨ aren dann (i) und (ii) vollst¨ andig bewiesen. Wir betrachten zun¨ achst den Abstand zweier benachbarter Folgenelemente. Stets ist d(xn+1 , xn ) = d f (xn ), f (xn−1 ) ≤ L d(xn , xn−1 ), und wenn man das iteriert, folgt d(xn+1 , xn ) ≤ L d(xn , xn−1 ) ≤ L2 d(xn−1 , xn−2 ) ≤ ··· ≤ Ln d(x1 , x ˜). Mit Hilfe der Dreiecksungleichung kann damit auch der Abstand beliebiger Folgenelemente kontrolliert werden: d(xn , xn+r ) ≤ ≤ ≤ = = d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xn+r−1 , xn+r ) (Ln + Ln+1 + · · · + Ln+r−1 )d(x1 , x ˜) (Ln + Ln+1 + · · · )d(x1 , x ˜) n 2 L (1 + L + L + · · · )d(x1 , x˜) Ln d(x1 , x˜).

So setzen wir die Konstruktion fort, auf diese Weise erhalten wir eine Kugelfolge K1 ⊃ K2 ⊃ · · · mit den ben¨otigten Eigenschaften. (Dass die Radien εn gegen Null gehen, folgt daraus, dass wir das jeweils n¨achste εn+1 mit der Eigenschaft εn+1 ≤ εn /2 w¨ ahlen; damit ist εn ≤ ε1 /2n−1 . 5. Es sei (M, d) ein nicht leerer vollst¨andiger metrischer Raum. (i) Ist (An )n∈N eine Folge abgeschlossener Teilmengen von M , so dass M ◦ mit An ¨ ubereinstimmt, so gibt es ein n mit (An ) = ∅. (ii) Es seien O1 , O2 , .

Y1 , . . , yk′ und ε2 > 0, so dass gilt: 8) Wem schon beim Lesen dieser Begriffe etwas mulmig wird, kann gleich im n¨ achsten Abschnitt weiterlesen. Nichts von dem, was gleich behandelt werden soll, wird im Folgenden eine Rolle spielen. Topologie Tpw der punktweisen Konvergenz ¨ KAPITEL 5. FUNKTIONENRAUME 22 • F¨ ur g mit |f (xi ) − g(xi )| ≤ ε1 f¨ ur i = 1, . . , k ist g ∈ O1 . ur i = 1, . . , k′ ist g ∈ O2 . • F¨ ur g mit |f (yi ) − g(yi )| ≤ ε2 f¨ Setzt man dann ε := min{ε1 , ε2 }, so ist klar: Ist eine Funktion g der Funktion f ε-nahe an den Punkten x1 , .

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by Anthony
4.3

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